Το πείραμα του Ερατοσθένη: Υπολογισμός της περιφέρειας της Γης
Το «πείραμα του Ερατοσθένη» αποτελεί μια ιστορική μέθοδο για τον υπολογισμό της περιφέρειας της Γης, που πραγματοποιήθηκε από τον σπουδαίο μαθηματικό τον 3ο αι. π.Χ. Μια μέθοδος στην οποία ο Ερατοσθένης χρησιμοποίησε ως μόνα εργαλεία μια ράβδο, «βηματιστές» της εποχής για τη μέτρηση αποστάσεων, βασικές αρχές της τριγωνομετρίας και καθαρή σκέψη.
Για εκπαιδευτικούς λόγους, η μέθοδός του εφαρμόζεται έως και σήμερα από μαθητές, ώστε -χρησιμοποιώντας βασικά στοιχεία τριγωνομετρίας- να υπολογίζουν την περιφέρεια του πλανήτη μας. Οι ισημερίες και τα ηλιοστάσια αποτελούν ιδανικές ημερομηνίες για την πραγματοποίηση του ιστορικού πειράματος του Ερατοσθένη.
Σχήμα 1: Οι υπολογισμοί του Ερατοσθένη (Πηγές εικόνων για τη σύνθεση: Encyclopaedia Britannica και https://society6.com)
Επιστημονικό υπόβαθρο (πριν τον Ερατοσθένη)
Οι Πυθαγόρειοι αστρονόμοι, μαθηματικοί και φιλόσοφοι, κατά τον 6ο αι. π.Χ., δέχονταν ήδη τη σφαιρικότητα της Γης. Οι Έκφαντος, Ικέτας και Ηρακλείδης ο Ποντικός τη θέτουν να περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24 ώρες. Αποδίδουν δε τη φαινόμενη κίνηση της ουράνιας σφαίρας από Ανατολή σε Δύση στην περιστροφή της Γης. Ο Φιλόλαος ο Πυθαγόρειος αποτελεί ίσως τον πρώτο αστρονόμο που θεώρησε τη Γη ουράνιο σώμα και μάλιστα όχι ακίνητο, αλλά περιφερόμενο γύρω από το Κεντρικό Πυρ. Μεταγενέστερα (3ος αι. π.Χ.), ο Αρίσταρχος ο Σάμιος θέτει τη Γη, όπως και τους υπόλοιπους πλανήτες, να περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο. Ο Αριστοτέλης, στο έργο του «περί Ουρανού» (4ος αι. π.Χ.), τεκμηριώνει τη σφαιρικότητα της Γης και αναφέρεται στον υπολογισμό της περιφέρειάς της από προγενέστερους μαθηματικούς.
Σφαιρικότητα της Γης
Οι Έλληνες σοφοί της αρχαιότητας διαπιστώνουν τη σφαιρικότητα της Γης βασιζόμενοι σε παρατηρήσεις που σχετίζονται με:
- Το σχήμα της σκιάς που ρίχνει η Γη στη Σελήνη κατά τη διάρκεια μιας ολικής έκλειψης Σελήνης.
- Την αλλαγή της θέσης των αστέρων που βλέπουμε από διαφορετικούς τόπους της Γης την ίδια χρονική στιγμή (ή και τη μεταβολή της θέσης του πολικού αστέρα όσο μετακινούμαστε από νοτιότερες προς βορειότερες περιοχές).
- Την παρατήρηση ενός πλοίου, που καθώς απομακρύνεται στον ορίζοντα από οποιονδήποτε παρατηρητή, χάνεται από την όρασή μας σταδιακά, με το κατάρτι να μένει ως το τελευταίο ορατό του σημείο. Το αντίστροφο συμβαίνει καθώς το πλοίο πλησιάζει τον προορισμό του. Ποιό ήταν όμως το μέγεθός της Γης; Πόσο μεγάλος ήταν ο κόσμος στον οποίον ζούσαν;
Ο Ερατοσθένης (276 – 194 π.Χ)
Η πρώτη ιστορικά τεκμηριωμένη μέτρηση της περιμέτρου της Γης αποδίδεται στον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, τον 3ο αι. π.Χ, στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, καθώς υπολόγισε μια τιμή η οποία παρουσιάζει μικρή απόκλιση συγκρινόμενη με τις σημερινές μετρήσεις.
Ο Ερατοσθένης υπήρξε σπουδαίος αστρονόμος, μαθηματικός, γεωδαίτης και γεωγράφος. Διετέλεσε διευθυντής της ξακουστής βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Η Αλεξάνδρεια, χτισμένη στις εκβολές του Νείλου από τον Μέγα Αλέξανδρο, αποτέλεσε σημαντικό κέντρο παιδείας και επιστήμης από τον 4ο έως τον 2ο αι. π.Χ. Η περίφημη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, ως το σημαντικότερο εκδοτικό κέντρο του τότε γνωστού κόσμου, φημιζόταν για τον πλούτο των χειρογράφων της, συγκριτικά με κάθε άλλη γνωστή βιβλιοθήκη, προσελκύοντας πλήθος σοφών και ερευνητών της εποχής.
Η μέθοδος του Ερατοσθένη
Ο Ερατοσθένης είχε παρατηρήσει, ή γνώριζε από παρατηρήσεις άλλων ερευνητών, ότι κατά το θερινό ηλιοστάσιο, ακριβώς το μεσημέρι, ο ήλιος κατοπτρίζονταν ολόκληρος στον πυθμένα ενός πηγαδιού στη Συήνη. Η Συήνη (το σημερινό Ασσουάν) αποτελεί πόλη της αρχαίας Αιγύπτου χτισμένη στη δυτική όχθη του Νείλου, νοτιότερα της Αλεξάνδρειας. Παρατήρησε επίσης, ότι την ίδια μέρα και ώρα δεν συνέβαινε το ίδιο φαινόμενο και στην Αλεξάνδρεια. Επομένως η γωνία πρόσπτωσης των ηλιακών ακτίνων διέφερε στους δύο τόπους για τη δεδομένη χρονική στιγμή.
Θερινό ηλιοστάσιο
Το θερινό ηλιοστάσιο είναι η ημέρα του έτους κατά την οποίαν ο ήλιος βρίσκεται στο βορειότερο σημείο του στον ουρανό, καθώς τον παρατηρούμε από το βόρειο ημισφαίριο της Γης. Τότε διανύουμε τη μεγαλύτερη ημέρα του έτους (και τη μικρότερη νύχτα αντίστοιχα). Κατά το θερινό ηλιοστάσιο, από τους τόπους που βρίσκονται σε βόρειο γεωγραφικό πλάτος 23ο 26’, δηλαδή στον τροπικό του Καρκίνου, βλέπουμε τον ήλιο να περνά ακριβώς από το ζενίθ του το μεσημέρι. Η Συήνη βρίσκεται σχεδόν πάνω στον τροπικό του Καρκίνου, απέχοντας μόλις 20 km από αυτόν.
Σχήμα 2: Οι πόλεις Αλεξάνδρεια και Συήνη βρίσκονται σχεδόν πάνω στον ίδιο μεσημβρινό (Πηγή σχήματος: https://oceanservice.noaa.gov)
Υποθέσεις
Ο Ερατοσθένης ξεκίνησε με τις ακόλουθες δύο υποθέσεις: (α) Η Γη είναι σφαίρα και φωτίζεται ομοιόμορφα από τον Ήλιο. (β) Ο Ήλιος είναι τόσο μακριά από τη Γη, ώστε οι ακτίνες του φτάνουν σε αυτήν ουσιαστικά παράλληλες. Στη συνέχεια συνέκρινε, την ίδια χρονική στιγμή, τη διεύθυνση των ηλιακών ακτίνων με τη διεύθυνση της κατακορύφου στις δύο διαφορετικές πόλεις (Συήνη και Αλεξάνδρεια). Πώς μπόρεσε όμως ο Ερατοσθένης να πραγματοποιήσει δύο μετρήσεις σε δύο διαφορετικά σημεία της Γης την ίδια χρονική στιγμή, εφόσον οι αρχαίοι Έλληνες δεν διέθεταν ρολόγια που θα μπορούσαν να συγχρονίσουν;
Το πρόβλημα το έλυσε κάνοντας τις μετρήσεις του κατά τη μεσημβρία (την ώρα δηλαδή που ο ήλιος βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο του στον ουρανό) σε δύο πόλεις που βρίσκονται πάνω στον ίδιο μεσημβρινό, όπου κάθε μεσημβρινός είναι μια γραμμή που ενώνει τον βόρειο με τον νότιο πόλο της Γης (Σχήμα 2). Όσοι τόποι βρίσκονται πάνω στον ίδιο μεσημβρινό, έχουν μεσημέρι την ίδια χρονική στιγμή. Και πράγματι, η Αλεξάνδρεια και η Συήνη βρίσκονται σχεδόν στον ίδιο μεσημβρινό απέχοντας κατά γεωγραφικό μήκος μόλις 3ο, με βάση σημερινούς υπολογισμούς. Γνωρίζοντας ότι στη Συήνη, κατά τη μεσημβρία του θερινού ηλιοστασίου, ο ήλιος κατοπτρίζονταν ολόκληρος στον πυθμένα ενός πηγαδιού, αυτό σήμαινε ότι εκείνη τη στιγμή ο ήλιος βρισκόταν στην κατακόρυφο του τόπου (στο Ζενίθ του). Την ίδια χρονική στιγμή, τοποθετώντας στο έδαφος της Αλεξάνδρειας μια κατακόρυφη ράβδο, υπολόγισε τη γωνία πρόσπτωσης των ηλιακών ακτίνων με το κατακόρυφο επίπεδο: μέσω της εφαπτομένης της, γνωρίζοντας το μήκος της ράβδου και μετρώντας το μήκος της σκιάς της. Η γωνία υπολογίστηκε σε περίπου 7,2ο. Η γωνία αυτή αντιστοιχεί ουσιαστικά στη γωνία ανάμεσα στην ακτίνα της Γης που καταλήγει στη Συήνη και την ακτίνα της Γης που καταλήγει στην Αλεξάνδρεια (Σχήμα 1).
Απόσταση Συήνης – Αλεξάνδρειας
Ένα δεύτερο στοιχείο που χρειάστηκε για να προχωρήσει στον υπολογισμό της περιφέρειας της Γης ήταν η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων. Πώς υπολόγισε ο Ερατοσθένης αυτήν την απόσταση; Κάποιοι μελετητές ισχυρίζονται ότι την υπολόγισε με βάση τη σταθερή ταχύτητα με την οποία ταξίδευαν τα καραβάνια -100 στάδια την ημέρα- επί 50 ημέρες, δηλαδή 5.000 στάδια συνολικά ή 820 km (1 αττικό στάδιο = 164 m.) Από άλλες πηγές, αυτή η απόσταση προκύπτει από αιγυπτιακούς τοπογραφικούς χάρτες, όπου οι μετρήσεις είχαν γίνει από επαγγελματίες «βηματιστές», οι οποίοι περπατώντας με σταθερούς διασκελισμούς κατέγραφαν αποστάσεις.
Τελικός υπολογισμός
Εφόσον σε γωνία 7,2ο αντιστοιχεί απόσταση 5.000 σταδίων στην περιφέρεια της Γης, ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι στις 360ο αντιστοιχεί απόσταση 250.000 σταδίων, που ισοδυναμεί σε 40.000 km, που είναι και η περιφέρεια του πλανήτη μας. Το λάθος στον υπολογισμό ήταν μόνο 2%: ένα πραγματικά αξιοσημείωτο επίτευγμα, δεδομένου ότι οι υπολογισμοί πραγματοποιήθηκαν πριν από περίπου 2,5 χιλιάδες χρόνια. Ο Ερατοσθένης, ως ο πρώτος άνθρωπος που μέτρησε τις διαστάσεις του πλανήτη μας, θεωρείται και ο πατέρας της μαθηματικής γεωγραφίας.
Οι μαθητές και οι εκπαιδευτικοί που ενδιαφέρονται να υλοποιήσουν το πείραμα του Ερατοσθένη κατά την εαρινή ισημερία (20 Μαρτίου 2021), μπορούν να ακολουθήσουν τις οδηγίες που δίνονται πιο κάτω.
ΟΔΗΓΙΕΣ ΠΕΙΡΑΜΑΤΟΣ
Αν θεωρήσουμε ότι ο κύκλος στο διπλανό σχήμα είναι η Γη τότε η έλλειψη στο κέντρο είναι ο ισημερινός. Τις ημέρες κοντά στην εαρινή ισημερία, όσοι βρίσκονται στον ισημερινό της Γης θα παρατηρήσουν ότι ο Ήλιος το μεσημέρι βρίσκεται πολύ κοντά στο ζενίθ. Επομένως οι ακτίνες πέφτουν κατακόρυφα και ο Ήλιος θα μπορούσε να καθρεφτίζεται στον πυθμένα ενός πηγαδιού. Η προέκταση μιας ακτίνας του Ήλιου είναι η ΙΚ και περνάει από το κέντρο της Γης Κ. Έστω ότι εμείς είμαστε στη θέση Τ. Αν τοποθετήσουμε μια κατακόρυφη ράβδο ΤΑ=Υcm τότε αυτή το μεσημέρι έχει σκιά ΤΣ=Χcm. Η κατάλληλη ώρα που πρέπει να κάνετε τη μέτρησή σας για κάθε τόπο υπολογίζεται από εδώ.
Υπολογίζουμε την εφαπτομένη της γωνίας ΣΑΤ από το λόγο Χ/Y και έτσι βρίσκουμε την γωνία που είναι φ μοίρες. Η γωνία φ είναι ίση με την επίκεντρη γωνία ΤΚΙ. Το γεωγραφικό πλάτος της θέσης μας είναι φ μοίρες. Παρατήρηση: Η γωνία φ είναι ίση με το γεωγραφικό πλάτος μόνο αν η μέτρηση γίνει τις μέρες της εαρινής ή φθινοπωρινής ισημερίας.
Η απόσταση από τον ισημερινό ΤΙ=S υπολογίζεται από το Google Earth ή από εδώ.
Η περίμετρος της Γης και η ακτίνα της R υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τις ακόλουθες μαθηματικές σχέσεις:
Μπορείτε να κατεβάσετε το Φύλλο Εργασίας από εδώ.
Μπορείτε επίσης να παρακολουθήσετε την περιγραφή του ιστορικού πειράματος του Ερατοσθένη από τον Carl Sagan, στο video που ακολουθεί.
ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΣΥΝΔΕΣΜΟΙ
